3. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите ∠ABC, если ∠BAC = 30°, а ∠BMC = 45°.

Так как A, M и C лежат на одной прямой, углы ∠BMA и ∠BMC смежные, поэтому ∠BMA = 135°. В треугольнике ABM получаем ∠ABM = 180° − 135° − 30° = 15°.

Обозначим ∠ACB через x. По теореме синусов в треугольнике ABM: \(\frac{BM}{AM}=\frac{\sin 30^\circ}{\sin 15^\circ}\). В треугольнике BMC, учитывая AM = MC: \(\frac{BM}{AM}=\frac{BM}{MC}=\frac{\sin x}{\sin(135^\circ-x)}\).

При x = 105° правая дробь равна \(\frac{\sin 105^\circ}{\sin 30^\circ}=\frac{\sin 30^\circ}{\sin 15^\circ}\). Это значение x единственно: отношение \(\frac{\sin x}{\sin(135^\circ-x)}\) строго возрастает при 0° < x < 135°. Значит, ∠ACB = 105°.

Тогда \(\angle ABC=180^\circ-30^\circ-105^\circ=45^\circ\).

Ответ: 45°.