3. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 84 и BC = BM. Найдите AH.

Так как BM — медиана, точка M является серединой AC:

\(AM=MC=\dfrac{AC}{2}=42\).

Обозначим \(AH=x\). Тогда \(HM=AM-AH=42-x\).

В прямоугольном треугольнике BHC:

\(BC^2=BH^2+HC^2\).

В прямоугольном треугольнике BHM:

\(BM^2=BH^2+HM^2\).

По условию \(BC=BM\), поэтому \(HC^2=HM^2\). Следовательно, \(HC=HM\).

Так как \(HC=42\) и \(HM=42-x\), получаем:

\(42=42-x\), откуда \(x=0\).

Следовательно, \(AH=0\).

Ответ: 0