4. В треугольнике ABC BM — медиана и BH — высота. Известно, что AC = 216, HC = 54 и ∠ACB = 40°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

Так как BH — высота, треугольник BHC прямоугольный, а \(\angle BCH=\angle ACB=40^\circ\).

Поскольку \(AC=216\) и \(HC=54\), имеем:

\(AH=AC-HC=216-54=162\).

BM — медиана, значит M — середина AC:

\(AM=MC=\dfrac{216}{2}=108\).

Точка M расположена между A и H, поэтому:

\(MH=AM-AH=108-162=-54\).

Полученное противоречие показывает, что при данных \(AC=216\), \(HC=54\) точка M должна находиться между H и C, а не между A и H. Тогда \(MH=54\).

В прямоугольном треугольнике BHC:

\(\tan 40^\circ=\dfrac{BH}{HC}\), поэтому \(BH=54\tan40^\circ\).

В прямоугольном треугольнике BMH угол при M обозначим \(\alpha\). Тогда \(\tan\alpha=\dfrac{BH}{MH}=\tan40^\circ\), следовательно, \(\alpha=40^\circ\).

Ответ: 40°