3. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, ∠ACB = 75°. На стороне BC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками B и Y, AX = BX и ∠BAX = ∠YAX. Найдите длину отрезка XY, если AX = 22.

Так как \(AB=BC\) и \(\angle ACB=75^\circ\), то \(\angle BAC=75^\circ\), а \(\angle ABC=30^\circ\).

Рассмотрим треугольник ABX. Поскольку X лежит на BC, \(\angle ABX=\angle ABC=30^\circ\). По условию \(AX=BX=22\), поэтому треугольник ABX равнобедренный и \(\angle BAX=30^\circ\).

Тогда \(\angle YAX=30^\circ\), а значит, \(\angle BAY=60^\circ\).

В треугольнике ABX:

\[AB=\frac{AX\sin120^\circ}{\sin30^\circ}=\frac{22\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{\frac12}=22\sqrt3.\]

Следовательно, \(BC=22\sqrt3\).

Обозначим \(BY=t\). В треугольнике ABY угол между AB и BY равен 30°, поэтому по теореме косинусов:

\[AY^2=AB^2+BY^2-2\cdot AB\cdot BY\cos30^\circ.\]

Так как \(\angle BAY=60^\circ\), \(\angle ABY=30^\circ\), \(\angle AYB=90^\circ\), поэтому

\[BY=\frac{AB}{\cos30^\circ}=\frac{22\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}}=44.\]

Тогда

\[XY=BY-BX=44-22=22.\]

Ответ: 22.