3. В треугольнике ABC угол B 90°, AB = BC. На сторонах AB и BC взяты точки M и P, а на стороне AC — точки K и H так, что четырёхугольник MPHK является квадратом, MP = a. Найдите AC.

Так как MPHK — квадрат, его противоположные стороны MP и KH параллельны. Поскольку K и H лежат на AC, отрезок KH лежит на AC, следовательно, MP ∥ AC.

Пусть AB = BC = L, а расстояние от M до B и от B до P, отсчитанное по соответствующим сторонам, равно d. Из параллельности MP и AC следует, что эти два отрезка равны: BM = BP = d. Тогда MP — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами d и d, поэтому MP = d√2 и d = a/√2.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике параллельный AC отрезок MP, соединяющий точки на AB и BC, расположен на расстоянии d от B; условие, что второй бок квадрата KH лежит на AC, даёт AB = 3d. Значит, AC = AB√2 = 3d√2 = 3a.

Ответ: AC = 3a.