3. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВК и высота ВМ, ∠ABC = 80°, ∠BCA = 60°. Найди ∠КВМ между биссектрисой и высотой.

Решение:

1. Найдём угол \( \angle BAC \) в треугольнике АВС: \( \angle BAC = 180° - \angle ABC - \angle BCA = 180° - 80° - 60° = 40° \).

2. Так как ВК — биссектриса \( \angle ABC \), то \( \angle ABK = \angle KBC = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 80° = 40° \).

3. Так как ВМ — высота, то \( \angle BMA = 90° \). В треугольнике АВМ: \( \angle ABM = 180° - \angle BAC - \angle BMA = 180° - 40° - 90° = 50° \).

4. Угол \( \angle KBM \) равен разности углов \( \angle ABM \) и \( \angle ABK \): \( \angle KBM = \angle ABM - \angle ABK = 50° - 40° = 10° \).

Ответ: \( \angle KBM = 10° \).