3. В треугольнике АВС угол C равен 90°, стороны АС и ВС равны. На стороне АВ отметили точку Р так, что угол АСР равен 18°. Найдите градусную меру угла АРС.

Краткая запись:

• Треугольник ABC: \( \angle C = 90^{\circ} \), AC = BC
• Точка P на AB
• \( \angle ACP = 18^{\circ} \)
• Найти: \( \angle APC \)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем углы треугольника ABC. Так как \( \angle C = 90^{\circ} \) и AC = BC, то треугольник ABC — равнобедренный прямоугольный. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
   • \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \)
   • \( \angle A + \angle B + 90^{\circ} = 180^{\circ} \)
   • \( \angle A + \angle B = 90^{\circ} \)
   Так как AC = BC, то \( \angle A = \angle B \).
   • \( 2\angle A = 90^{\circ} \)
   • \( \angle A = \angle B = 45^{\circ} \)
2. Шаг 2: Находим угол BCP.
   • \( \angle ACB = \angle ACP + \angle BCP \)
   • \( 90^{\circ} = 18^{\circ} + \angle BCP \)
   • \( \angle BCP = 90^{\circ} - 18^{\circ} = 72^{\circ} \)
3. Шаг 3: Рассматриваем треугольник BCP и находим угол APC. В треугольнике BCP мы знаем \( \angle B = 45^{\circ} \) и \( \angle BCP = 72^{\circ} \). Сумма углов в треугольнике BCP равна 180°.
   • \( \angle B + \angle BCP + \angle BPC = 180^{\circ} \)
   • \( 45^{\circ} + 72^{\circ} + \angle BPC = 180^{\circ} \)
   • \( 117^{\circ} + \angle BPC = 180^{\circ} \)
   • \( \angle BPC = 180^{\circ} - 117^{\circ} = 63^{\circ} \)
4. Шаг 4: Угол APC и угол BPC являются смежными углами, так как точки A, P, B лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна 180°.
   • \( \angle APC + \angle BPC = 180^{\circ} \)
   • \( \angle APC + 63^{\circ} = 180^{\circ} \)
   • \( \angle APC = 180^{\circ} - 63^{\circ} = 117^{\circ} \)
5. Шаг 5: Альтернативный способ найти \( \angle APC \). Рассматриваем треугольник APC. Мы знаем \( \angle A = 45^{\circ} \) и \( \angle ACP = 18^{\circ} \).
   • \( \angle APC + \angle A + \angle ACP = 180^{\circ} \)
   • \( \angle APC + 45^{\circ} + 18^{\circ} = 180^{\circ} \)
   • \( \angle APC + 63^{\circ} = 180^{\circ} \)
   • \( \angle APC = 180^{\circ} - 63^{\circ} = 117^{\circ} \)

Ответ: Градусная мера угла АРС равна 117°.