3. Вершины ABCD делят окружность в отношении 1:2:5:4. Найдите углы этого четырехугольника ABCD.

Дано:

• Четырехугольник ABCD вписан в окружность.
• Отношение дуг: $$ \text{дуга AB} : \text{дуга BC} : \text{дуга CD} : \text{дуга DA} = 1 : 2 : 5 : 4 $$.

Найти: Углы четырехугольника $$ \angle A, \angle B, \angle C, \angle D $$.

Решение:

Общая сумма градусов окружности равна $$ 360^\circ $$. Отношение частей дуг равно $$ 1 + 2 + 5 + 4 = 12 $$.

Найдем градусные меры каждой дуги:

• Дуга AB = $$ \frac{1}{12} \times 360^\circ = 30^\circ $$.
• Дуга BC = $$ \frac{2}{12} \times 360^\circ = 60^\circ $$.
• Дуга CD = $$ \frac{5}{12} \times 360^\circ = 150^\circ $$.
• Дуга DA = $$ \frac{4}{12} \times 360^\circ = 120^\circ $$.

Теперь найдем углы четырехугольника. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

• Угол $$ \angle D $$ опирается на дугу AB + дугу BC: $$ \angle D = \frac{1}{2} (\text{дуга AB} + \text{дуга BC}) = \frac{1}{2} (30^\circ + 60^\circ) = \frac{1}{2} (90^\circ) = 45^\circ $$.
• Угол $$ \angle A $$ опирается на дугу CD + дугу DA: $$ \angle A = \frac{1}{2} (\text{дуга CD} + \text{дуга DA}) = \frac{1}{2} (150^\circ + 120^\circ) = \frac{1}{2} (270^\circ) = 135^\circ $$.
• Угол $$ \angle B $$ опирается на дугу CD + дугу DA: $$ \angle B = \frac{1}{2} (\text{дуга CD} + \text{дуга DA}) = \frac{1}{2} (150^\circ + 120^\circ) = \frac{1}{2} (270^\circ) = 135^\circ $$.
• Угол $$ \angle C $$ опирается на дугу AB + дугу DA: $$ \angle C = \frac{1}{2} (\text{дуга AB} + \text{дуга DA}) = \frac{1}{2} (30^\circ + 120^\circ) = \frac{1}{2} (150^\circ) = 75^\circ $$.

Проверим, что сумма противоположных углов равна $$ 180^\circ $$.

$$ \angle A + \angle C = 135^\circ + 45^\circ = 180^\circ $$.

$$ \angle B + \angle D = 135^\circ + 45^\circ = 180^\circ $$.

Исправление: Углы опираются на дуги следующим образом:

• $$ \angle A $$ опирается на дугу BCD = дуга BC + дуга CD = $$ 60^\circ + 150^\circ = 210^\circ $$. $$ \angle A = \frac{1}{2} \times 210^\circ = 105^\circ $$.
• $$ \angle B $$ опирается на дугу CDA = дуга CD + дуга DA = $$ 150^\circ + 120^\circ = 270^\circ $$. $$ \angle B = \frac{1}{2} \times 270^\circ = 135^\circ $$.
• $$ \angle C $$ опирается на дугу DAB = дуга DA + дуга AB = $$ 120^\circ + 30^\circ = 150^\circ $$. $$ \angle C = \frac{1}{2} \times 150^\circ = 75^\circ $$.
• $$ \angle D $$ опирается на дугу ABC = дуга AB + дуга BC = $$ 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ $$. $$ \angle D = \frac{1}{2} \times 90^\circ = 45^\circ $$.

Проверка: $$ 105^\circ + 135^\circ + 75^\circ + 45^\circ = 360^\circ $$. Сумма противоположных углов: $$ \angle A + \angle C = 105^\circ + 75^\circ = 180^\circ $$. $$ \angle B + \angle D = 135^\circ + 45^\circ = 180^\circ $$. Это верно для вписанного четырехугольника.

Ответ: $$ \angle A = 105^\circ, \angle B = 135^\circ, \angle C = 75^\circ, \angle D = 45^\circ $$