4. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием 12 см и периметром 32 см вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

Дано:

• Равнобедренный треугольник ABC.
• Основание $$ BC = 12 $$ см.
• Периметр $$ P = 32 $$ см.
• Вписанная окружность.

Найти: Радиус вписанной окружности $$ r $$.

Решение:

1. Найдем длины боковых сторон:

   Периметр треугольника $$ P = AB + AC + BC $$. Так как треугольник равнобедренный, $$ AB = AC $$.

   $$ 32 = 2 \times AB + 12 $$

   $$ 2 \times AB = 32 - 12$$

   $$ 2 \times AB = 20$$

   $$ AB = 10 $$ см. Следовательно, $$ AC = 10 $$ см.

2. Найдем высоту треугольника:

   Проведем высоту $$ AH $$ к основанию BC. Так как треугольник равнобедренный, высота является также медианой, поэтому $$ BH = HC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 12 = 6 $$ см.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора:

   $$ AH^2 + BH^2 = AB^2$$

   $$ AH^2 + 6^2 = 10^2$$

   $$ AH^2 + 36 = 100$$

   $$ AH^2 = 100 - 36$$

   $$ AH^2 = 64$$

   $$ AH = \sqrt{64} = 8 $$ см.

3. Найдем площадь треугольника:

   Площадь $$ S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 6 \times 8 = 48 $$ см$$^2$$.

4. Найдем радиус вписанной окружности:

   Формула радиуса вписанной окружности: $$ r = \frac{S}{p} $$, где $$ S $$ — площадь треугольника, а $$ p $$ — полупериметр.

   Полупериметр $$ p = \frac{P}{2} = \frac{32}{2} = 16 $$ см.

   $$ r = \frac{48}{16} = 3 $$ см.

Ответ: 3 см