3. Внутри квадрата ABCD выбрана точка M так, что треугольник AMD равносторонний. Найдите угол AMB.

Обозначим сторону квадрата через \(a\). Введём координаты: \(A(0,0)\), \(B(a,0)\), \(D(0,a)\). Так как AMD — равносторонний треугольник, а M находится внутри квадрата, \(M(\sqrt{3}a/2,a/2)\).

1. \(AM=a\), а по координатам точки M: \(MB^2=(a-\sqrt{3}a/2)^2+(a/2)^2=a^2(2-\sqrt{3})\).
2. Также \(AB=a\). По теореме косинусов для угла AMB: \(\cos\angle AMB=(AM^2+MB^2-AB^2)/(2\cdot AM\cdot MB)=\sqrt{2-\sqrt{3}}/2\).
3. Это значение равно \(\cos 75°\).

Ответ: ∠AMB = 75°.