3. Вычислите: a) 12³ ⋅ 5⁶ / (15⁴ ⋅ 10⁴), б) 6⁶ ⋅ 5² / (15³ ⋅ 24), в) 3 ⋅ 2⁶ - 8 ⋅ 4³ + 5 ⋅ 8².

Решение:

1. а) Разложим числа на простые множители: \( 12 = 2^2 \cdot 3 \), \( 15 = 3 \cdot 5 \), \( 10 = 2 \cdot 5 \).
   \( \frac{12^3 \cdot 5^6}{15^4 \cdot 10^4} = \frac{(2^2 \cdot 3)^3 \cdot 5^6}{(3 \cdot 5)^4 \cdot (2 \cdot 5)^4} = \frac{2^{2 \cdot 3} \cdot 3^3 \cdot 5^6}{3^4 \cdot 5^4 \cdot 2^4 \cdot 5^4} = \frac{2^6 \cdot 3^3 \cdot 5^6}{2^4 \cdot 3^4 \cdot 5^8} = 2^{6-4} \cdot 3^{3-4} \cdot 5^{6-8} = 2^2 \cdot 3^{-1} \cdot 5^{-2} = \frac{2^2}{3 \cdot 5^2} = \frac{4}{3 \cdot 25} = \frac{4}{75} \)
2. б) Разложим числа на простые множители: \( 6 = 2 \cdot 3 \), \( 15 = 3 \cdot 5 \), \( 24 = 2^3 \cdot 3 \).
   \( \frac{6^6 \cdot 5^2}{15^3 \cdot 24} = \frac{(2 \cdot 3)^6 \cdot 5^2}{(3 \cdot 5)^3 \cdot (2^3 \cdot 3)} = \frac{2^6 \cdot 3^6 \cdot 5^2}{3^3 \cdot 5^3 \cdot 2^3 \cdot 3^1} = \frac{2^6 \cdot 3^6 \cdot 5^2}{2^3 \cdot 3^{3+1} \cdot 5^3} = \frac{2^6 \cdot 3^6 \cdot 5^2}{2^3 \cdot 3^4 \cdot 5^3} = 2^{6-3} \cdot 3^{6-4} \cdot 5^{2-3} = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^{-1} = \frac{2^3 \cdot 3^2}{5} = \frac{8 \cdot 9}{5} = \frac{72}{5} \)
3. в) Представим числа 8 и 4 как степени двойки: \( 8 = 2^3 \), \( 4 = 2^2 \).
   \( 3 \cdot 2^6 - 8 \cdot 4^3 + 5 \cdot 8^2 = 3 \cdot 2^6 - 2^3 \cdot (2^2)^3 + 5 \cdot (2^3)^2 = 3 \cdot 2^6 - 2^3 \cdot 2^{2 \cdot 3} + 5 \cdot 2^{3 \cdot 2} = 3 \cdot 2^6 - 2^3 \cdot 2^6 + 5 \cdot 2^6 = 2^6 (3 - 2^3 + 5) = 2^6 (3 - 8 + 5) = 2^6 (0) = 0 \)

Ответ: а) 4/75; б) 72/5; в) 0.