№3. Вычислите: a) \( \frac{11^{12} \cdot 11^9}{11^{19}} \); б) \( \frac{5^4 \cdot 125}{25^2} \).

Решение:

1. а) Используем свойство степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):
2. \( \frac{11^{12+9}}{11^{19}} = \frac{11^{21}}{11^{19}} \)
3. \( 11^{21-19} = 11^2 \)
4. Вычислим: \( 11^2 = 121 \)
5. б) Представим числа как степени пятёрки: \( 125 = 5^3 \) и \( 25 = 5^2 \).
6. Подставим в выражение: \( \frac{5^4 \cdot 5^3}{(5^2)^2} \)
7. Используем свойство степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( \frac{5^{4+3}}{5^{2 \cdot 2}} = \frac{5^7}{5^4} \)
8. Используем свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \( 5^{7-4} = 5^3 \)
9. Вычислим: \( 5^3 = 125 \)

Ответ: а) 121; б) 125.