3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y = x² − 2x − 2 и y = x − 2; б) y = x³ − 3x² и y = x² − 4x.

а) Находим точки пересечения: \(x^2-2x-2=x-2\), откуда \(x(x-3)=0\), то есть \(x=0\) и \(x=3\). На этом промежутке прямая расположена выше параболы.

\[S=\int_0^3\bigl((x-2)-(x^2-2x-2)\bigr)\,dx=\int_0^3(-x^2+3x)\,dx=\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}\right]_0^3=\frac{9}{2}.\]

б) Точки пересечения: \(x^3-3x^2=x^2-4x\), значит \(x(x-1)(x-4)=0\); абсциссы равны 0, 1 и 4. На отрезке \([0,1]\) кубическая функция выше, а на \([1,4]\) выше функция \(x^2-4x\).

\[S=\int_0^1(x^3-4x^2+4x)\,dx+\int_1^4(-x^3+4x^2-4x)\,dx=\frac{7}{12}+\frac{63}{4}=\frac{49}{3}.\]

Ответ: а) \(\frac{9}{2}\); б) \(\frac{49}{3}\).