№ 3. Вычислите площадь полной поверхности и объем конуса, если радиус основания конуса равен 4 см, а угол между высотой и образующей конуса - 30°.

Решение:

Угол между высотой \( h \) и образующей \( l \) конуса равен \( \beta = 30^{\circ} \). Радиус основания \( r = 4 \) см.

Найдём высоту \( h \) и образующую \( l \) конуса, используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей:

\(

\tan \beta = \frac{r}{h} \implies h = \frac{r}{\tan \beta} = \frac{4}{\tan 30^{\circ}} = \frac{4}{1/\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \) см.

\(

\cos \beta = \frac{h}{l} \implies l = \frac{h}{\cos \beta} = \frac{4\sqrt{3}}{\cos 30^{\circ}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 8 \) см.

Площадь полной поверхности конуса: \( S = \pi r (r + l) \).

\( S = \pi \cdot 4 (4 + 8) = \pi \cdot 4 \cdot 12 = 48\pi \) см².

Объем конуса: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \).

\( V = \frac{1}{3} \pi \cdot 4^2 \cdot 4\sqrt{3} = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 4\sqrt{3} = \frac{64\pi\sqrt{3}}{3} \) см³.

Ответ: Площадь полной поверхности конуса равна \( 48\pi \) см², объем конуса равен \( \frac{64\pi\sqrt{3}}{3} \) см³.