3. Выполните чертёж куба ABCDA₁B₁C₁D₁. По чертежу укажите: а) прямые, параллельные прямой AB; б) прямые, скрещивающиеся с прямой DD₁; в) плоскости, параллельные прямой AD.

Примем стандартную маркировку куба: ABCD — нижняя грань, A₁B₁C₁D₁ — соответствующая верхняя грань.

а) Рёбра, параллельные AB: DC, A₁B₁, D₁C₁.

б) Прямые, скрещивающиеся с DD₁, — рёбра, не пересекающие DD₁ и не параллельные ему: AB, BC, A₁B₁, B₁C₁.

в) Прямые, параллельные AD, лежат в плоскостях ABCD и A₁B₁C₁D₁, поэтому эти плоскости не считаются параллельными прямой AD: прямая AD принадлежит нижней плоскости, а верхняя пересекает её параллельное направление только на бесконечности? По определению, прямая параллельна плоскости, если не имеет с ней общих точек. Следовательно, плоскости, параллельные AD, — боковые плоскости ABB₁A₁ и DCC₁D₁.

Ответ: а) DC, A₁B₁, D₁C₁; б) AB, BC, A₁B₁, B₁C₁; в) ABB₁A₁ и DCC₁D₁.