3. Выполните действия: 1) \(2\cdot2^{\frac12}\cdot2^{\frac14}\cdot2^{\frac18}\); 2) \(\left(\frac{2^{\frac23}}{4^{\frac35}}\right)^3\); 3) \(\sqrt{\frac{\sqrt3\sqrt[3]{9}}{\sqrt[4]{27}}}\); 4) \(\frac{a^{\frac23}a^{-\frac54}}{a^{\frac32}a^{-\frac13}}\); 5) \(\left((a^2)^{\frac13}\right)^{\frac35}\); 6) \(\frac{3^{\frac13}\cdot7^{\frac13}}{9^{\frac13}}\).

1. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:
   \[2\cdot2^{\frac12}\cdot2^{\frac14}\cdot2^{\frac18}=2^{1+\frac12+\frac14+\frac18}=2^{\frac{15}{8}}.\]
2. \[\left(\frac{2^{\frac23}}{4^{\frac35}}\right)^3=\left(\frac{2^{\frac23}}{(2^2)^{\frac35}}\right)^3=\left(2^{\frac23-\frac65}\right)^3=\left(2^{-\frac8{15}}\right)^3=2^{-\frac85}.\]
3. Представим все радикалы как степени числа 3:
   \[\sqrt{\frac{\sqrt3\sqrt[3]{9}}{\sqrt[4]{27}}}=\sqrt{3^{\frac12+\frac23-\frac34}}=\sqrt{3^{\frac5{12}}}=3^{\frac5{24}}=\sqrt[24]{3^5}.\]
4. \[\frac{a^{\frac23}a^{-\frac54}}{a^{\frac32}a^{-\frac13}}=a^{\frac23-\frac54-\frac32+\frac13}=a^{-\frac74}.\]
5. При возведении степени в степень показатели перемножаются:
   \[\left((a^2)^{\frac13}\right)^{\frac35}=a^{2\cdot\frac13\cdot\frac35}=a^{\frac25}.\]
6. \[\frac{3^{\frac13}\cdot7^{\frac13}}{9^{\frac13}}=\frac{\sqrt[3]{21}}{\sqrt[3]{9}}=\sqrt[3]{\frac{21}{9}}=\sqrt[3]{\frac73}.\]

Ответ: 1) \(2^{\frac{15}{8}}\); 2) \(2^{-\frac85}\); 3) \(\sqrt[24]{3^5}\); 4) \(a^{-\frac74}\); 5) \(a^{\frac25}\); 6) \(\sqrt[3]{\frac73}\).