3. Выполните действия: 1) $2\cdot2^{\frac12}\cdot2^{\frac14}\cdot2^{\frac18}$; 2) $\left(\frac{2^{\frac23}}{4^{\frac56}}\right)^3$; 3) $\sqrt{\frac{\sqrt3\cdot\sqrt[3]{9}}{\sqrt[4]{27}}}$; 4) $\frac{a^{\frac23}a^{-\frac54}}{a^{\frac32}a^{-\frac13}}$; 5) $\left((a^2)^{\frac13}\right)^{\frac35}$; 6) $\frac{3^{\frac13}\cdot7^{\frac13}}{9^{\frac13}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Выполните действия: 1) $2\cdot2^{\frac12}\cdot2^{\frac14}\cdot2^{\frac18}$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Складываем показатели степеней: $1+\frac12+\frac14+\frac18=\frac{15}{8}$. Поэтому $2\cdot2^{\frac12}\cdot2^{\frac14}\cdot2^{\frac18}=2^{\frac{15}{8}}$.
$4^{\frac56}=\left(2^2\right)^{\frac56}=2^{\frac53}$. Тогда $\left(\frac{2^{\frac23}}{4^{\frac56}}\right)^3=\left(2^{\frac23-\frac53}\right)^3=\left(2^{-1}\right)^3=\frac18$.
$\sqrt3\cdot\sqrt[3]{9}=3^{\frac12}3^{\frac23}=3^{\frac76}$, а $\sqrt[4]{27}=3^{\frac34}$. Поэтому $\sqrt{\frac{3^{\frac76}}{3^{\frac34}}}=\sqrt{3^{\frac5{12}}}=3^{\frac5{24}}=\sqrt[24]{243}$.
$\frac{a^{\frac23}a^{-\frac54}}{a^{\frac32}a^{-\frac13}}=a^{\frac23-\frac54-\frac32+\frac13}=a^{-\frac74}=\frac1{a^{\frac74}}$.
$\left((a^2)^{\frac13}\right)^{\frac35}=a^{2\cdot\frac13\cdot\frac35}=a^{\frac2{15}}$.
$\frac{3^{\frac13}\cdot7^{\frac13}}{9^{\frac13}}=\frac{\sqrt[3]{21}}{\sqrt[3]{9}}=\sqrt[3]{\frac73}$.

Ответ: 1) $2^{\frac{15}{8}}$; 2) $\frac18$; 3) $\sqrt[24]{243}$; 4) $a^{-\frac74}$; 5) $a^{\frac2{15}}$; 6) $\sqrt[3]{\frac73}$.