3) Выполните задание. 12) Найдите периметр параллелограмма. На рисунке H лежит на стороне AD, AH = 5 см, HD = 7 см, а BH — биссектриса угла B. 13) Найдите все углы параллелограмма ABCD. На рисунке CK ⟂ AD и CK = KD. 14) Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм. На рисунке AB ⟂ BD, BC ⟂ BD, AD = BC и отмечено, что AD ∥ BC.

12)

1. Находим сторону параллелограмма: AD = AH + HD = 5 + 7 = 12 см.
2. Поскольку AD ∥ BC, угол BHA равен углу CBH. Так как BH — биссектриса угла B, угол ABH равен углу CBH. Следовательно, угол ABH = угол BHA, и треугольник ABH равнобедренный: AB = AH = 5 см.
3. Периметр: P = 2(AB + AD) = 2(5 + 12) = 34 см.

Ответ: 34 см.

13) Обозначим угол D параллелограмма через α. В прямоугольном треугольнике CKD угол CKD равен 90°, а CK = KD, поэтому его острые углы равны 45°. Следовательно, α = ∠CDK = 45°. В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают 180°.

∠B = ∠D = 45°; ∠A = ∠C = 180° − 45° = 135°.

Ответ: ∠A = ∠C = 135°, ∠B = ∠D = 45°.

14) По рисунку AD ∥ BC и AD = BC. Рассмотрим диагональ BD. Треугольники ABD и CDB прямоугольные: AB ⟂ BD и BC ⟂ BD. Кроме того, AD = BC — их гипотенузы, а BD — общий катет. Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и катету. Поэтому ∠ADB = ∠CBD. Эти углы — накрест лежащие при прямых AD и BC и секущей BD, что подтверждает параллельность AD и BC. Также из равенства треугольников следует AB = CD. Таким образом, одна пара противоположных сторон четырёхугольника равна и параллельна; значит, ABCD — параллелограмм.