3. Задача 1. В прямоугольном треугольнике с углом 45° и гипотенузой 8 см проведены средние линии. Найдите периметр треугольника, образованного средними линиями.

Решение:

Дано:

Прямоугольный треугольник ABC, \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle A = 45^{\circ} \), \( AB = 8 \) см.

Средние линии MN, NK, KM.

Найти:

Периметр треугольника MNK.

Решение:

1. Так как \( \angle A = 45^{\circ} \) и \( \angle C = 90^{\circ} \), то \( \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \). Треугольник ABC — равнобедренный прямоугольный, \( AC = BC \).
2. По теореме Пифагора: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \). Так как \( AC = BC \), то \( 2AC^2 = 8^2 = 64 \), \( AC^2 = 32 \), \( AC = BC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \) см.
3. Средние линии соединяют середины сторон. Треугольник, образованный средними линиями, подобен исходному треугольнику с коэффициентом подобия 0.5.
4. Длины сторон треугольника MNK равны половинам длин сторон треугольника ABC: \( MN = \frac{1}{2} AB \), \( NK = \frac{1}{2} AC \), \( KM = \frac{1}{2} BC \).
5. \( MN = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \) см.
6. \( NK = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \) см.
7. \( KM = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \) см.
8. Периметр треугольника MNK равен сумме длин его сторон: \( P_{MNK} = MN + NK + KM = 4 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 4 + 4\sqrt{2} \) см.

Ответ: Периметр треугольника, образованного средними линиями, равен \( 4 + 4\sqrt{2} \) см.