4. Задача 2. Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину Си касается прямой АВ в точке В. Найдите диаметр окружности, если АС=25, AB=15.

Решение:

Дано:

Треугольник ABC, окружность с центром O на AC, проходит через C, касается AB в точке B. \( AC = 25 \) см, \( AB = 15 \) см.

Найти:

Диаметр окружности.

Решение:

1. Пусть O — центр окружности. Так как окружность проходит через C и касается AB в точке B, то радиус окружности равен OC и OB.
2. \( OC = OB = R \) (радиус окружности).
3. \( O \) лежит на стороне AC, значит, AC содержит диаметр или часть диаметра.
4. Рассмотрим треугольник ABC. По теореме о касательной и секущей, квадрат касательной \( AB \) равен произведению отрезков секущей, исходящей из той же точки. То есть \( AB^2 = AO \cdot AC \) (если бы центр O был вне AC). Однако, центр O находится на стороне AC.
5. Из условия, что окружность касается AB в точке B, следует, что OB перпендикулярна AB. \( OB \perp AB \).
6. Так как O лежит на AC, то OB является высотой треугольника ABC, проведённой из вершины B к стороне AC (если бы AC была основанием). В данном случае, OB — это катет прямоугольного треугольника AOB.
7. В прямоугольном треугольнике AOB: \( AO^2 = AB^2 + OB^2 \).
8. \( AO = AC - OC = 25 - R \) (так как O лежит на AC и C — точка на окружности).
9. Подставляем значения в уравнение: \( (25 - R)^2 = 15^2 + R^2 \).
10. Раскроем скобки: \( 625 - 50R + R^2 = 225 + R^2 \).
11. \( 625 - 50R = 225 \).
12. \( 625 - 225 = 50R \).
13. \( 400 = 50R \).
14. \( R = \frac{400}{50} = 8 \) см.
15. Диаметр окружности равен \( D = 2R = 2 \cdot 8 = 16 \) см.

Ответ: Диаметр окружности равен 16 см.