3. Задача на тему «Признаки равенства треугольников». Отрезки АС и ВМ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Доказать, что треугольник АВС равен треугольнику СМА.

Решение:

Дано: Отрезки \( AC \) и \( BM \) пересекаются в точке \( O \). \( AO = OC \), \( BO = OM \).

Доказать: \( \triangle ABC = \triangle CMA \).

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники \( \triangle ABO \) и \( \triangle CMO \).
2. По условию \( AO = OC \) и \( BO = OM \).
3. Углы \( \angle AOB \) и \( \angle COM \) вертикальные, следовательно, \( \angle AOB = \angle COM \).
4. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( \triangle ABO = \triangle CMO \).
5. Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны и углы равны: \( AB = CM \) и \( \angle BAO = \angle MCO \).
6. Теперь рассмотрим треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle CMA \).
7. Мы уже знаем, что \( AB = CM \) (из п. 5).
8. Общая сторона \( AC \) равна самой себе.
9. Углы \( \angle BAC \) и \( \angle MCA \) являются внутренними накрест лежащими при пересечении прямых \( AB \) и \( CM \) секущей \( AC \).
10. Так как \( \angle BAO = \angle MCO \) (из п. 5), то \( \angle BAC = \angle MCA \) (так как \( \angle BAC = \angle BAO \) и \( \angle MCA = \angle MCO \)).
11. По второму признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( \triangle ABC = \triangle CMA \).

Что и требовалось доказать.