3. Задача на тему «Признаки равенства треугольников». Отрезки АВ и СЕ пересекаются в их общей середине О. На отрезках АС и ВЕ отмечены точки К и М так, что АК равно ВМ. Доказать, что ОК равно ОМ.

1. Так как О - середина АВ и СЕ, то АО = ОВ и СО = ОЕ. 2. Рассмотрим треугольники АОС и ВОЕ. У них АО = ОВ, СО = ОЕ, а углы АОС и ВОЕ равны как вертикальные. Следовательно, треугольники АОС и ВОЕ равны по первому признаку равенства треугольников. 3. Из равенства треугольников следует, что АС = ВЕ. Так как АК = ВМ, то КС = АС - АК и МЕ = ВЕ - ВМ. Следовательно, КС = МЕ. Рассмотрим треугольники КОС и МОЕ. У них СО = ОЕ, КС = МЕ, а углы КОС и МОЕ равны как вертикальные. Следовательно, треугольники КОС и МОЕ равны по первому признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует, что ОК = ОМ. Доказано.