№3 (задача в тетрадях). На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены соответственно такие точки D и E, что AD = 3 см, EC = 6 см. Найдите отрезок DE, если AB = 8 см, BC = 12 см, AC = 10 см.

Так как \(E\) лежит на стороне \(AC\), найдём отрезок \(AE\):

\[AE=AC-EC=10-6=4\text{ см}.\]

Сначала найдём косинус угла \(A\) по теореме косинусов:

\[BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A,\]

\[144=64+100-160\cos A,\]

\[160\cos A=20,\qquad \cos A=\frac18.\]

В треугольнике \(ADE\) снова применим теорему косинусов:

\[DE^2=AD^2+AE^2-2\cdot AD\cdot AE\cdot\cos A.\]

\[DE^2=3^2+4^2-2\cdot3\cdot4\cdot\frac18=9+16-3=22.\]

Следовательно,

\[DE=\sqrt{22}\text{ см}.\]

Ответ: \(\sqrt{22}\) см.