№ 30 д) Дано: H = 6√3; ∆ АВС – равносторонний. Найти R

Решение:

Если \( \Delta ABC \) — равносторонний, и он является осевым сечением конуса, то сторона \( AB=BC=AC \). В этом случае, \( AC \) является диаметром основания конуса, то есть \( AC = 2R \). Высота \( H \) равностороннего треугольника, опущенная из вершины \( B \) на основание \( AC \), также является высотой конуса.

В равностороннем треугольнике высота \( h \) связана со стороной \( a \) соотношением: \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).

В нашем случае, высота конуса \( H = 6\sqrt{3} \) см, и эта высота является высотой равностороннего \( \Delta ABC \). Сторона \( AC \) равностороннего треугольника является диаметром основания конуса \( 2R \).

Таким образом, \( H = \frac{AC\sqrt{3}}{2} \).

Подставим известные значения:

\( 6\sqrt{3} = \frac{2R \sqrt{3}}{2} \)

\( 6\sqrt{3} = R\sqrt{3} \)

Разделим обе части на \( \sqrt{3} \):

\( R = 6 \) см.

Ответ: R = 6 см.