№ 40. Дано: конус ∠ ABC = 120°, l = 6. Найти: V

Решение:

В данном случае \( \angle ABC = 120^{\circ} \) — это угол при вершине осевого сечения конуса. \( l=6 \) — образующая конуса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса \( H \), радиусом основания \( R \) и образующей \( l \). Угол при вершине конуса \( \alpha = 120^{\circ} \), значит, половина этого угла, который находится в прямоугольном треугольнике, равна \( \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике:

\( R = l \cdot \sin(60^{\circ}) \)

\( H = l \cdot \cos(60^{\circ}) \)

Подставим значения:

\( R = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \) см.

\( H = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \) см.

Теперь найдем объем конуса по формуле:

\( V = \frac{1}{3} \pi R^2 H \)

\( V = \frac{1}{3} \pi (3\sqrt{3})^2 \cdot 3 \)

\( V = \frac{1}{3} \pi (9 \cdot 3) \cdot 3 \)

\( V = \frac{1}{3} \pi \cdot 27 \cdot 3 \)

\( V = 27\pi \) см³.

Ответ: V = 27π см³.