Ответ:

Перевод задания: Образуйте от слова MODERN однокоренное слово, которое грамматически и лексически подходит по смыслу, и заполните пропуск.

Over the last few years the local authorities have done a lot to modernise the town to fight this problem.

За последние несколько лет местные власти многое сделали, чтобы модернизировать город и бороться с этой проблемой.

modernise — модернизировать. После конструкции have done a lot to требуется инфинитив с to. Написание modernise соответствует британскому варианту английского языка.