31. В параллелепипеде длины трёх рёбер, исходящих из одной вершины, равны a, b, c. Рёбра a и b взаимно перпендикулярны, а ребро c образует с каждым из них угол α. Найдите объём параллелепипеда.

Объём параллелепипеда равен модулю смешанного произведения трёх векторов рёбер:

\[V=|\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)|.\]

Так как рёбра \(a\) и \(b\) перпендикулярны, основание имеет площадь \(ab\). У ребра \(c\) проекции на направления рёбер \(a\) и \(b\) равны \(c\cos\alpha\). Поэтому его составляющая, перпендикулярная основанию, равна:

\[h=\sqrt{c^2-c^2\cos^2\alpha-c^2\cos^2\alpha}=c\sqrt{1-2\cos^2\alpha}.\]

Тогда

\[V=ab\cdot h=abc\sqrt{1-2\cos^2\alpha}.\]

Для существования такого параллелепипеда должно выполняться \(1-2\cos^2\alpha\ge 0\).

Ответ: \(V=abc\sqrt{1-2\cos^2\alpha}\).