32. Чему равен объём прямой четырёхугольной призмы, если её высота h, диагонали наклонены к плоскости основания под углами α и β и острый угол между диагоналями основания γ?

Проекция пространственной диагонали прямой призмы на плоскость основания является диагональю основания.

Для первой диагонали:

\[\tan\alpha=\frac{h}{d_1},\qquad d_1=h\cot\alpha.\]

Для второй диагонали:

\[\tan\beta=\frac{h}{d_2},\qquad d_2=h\cot\beta.\]

Площадь четырёхугольника через его диагонали и угол между ними:

\[S_{осн}=\frac12d_1d_2\sin\gamma.\]

Подставим длины диагоналей:

\[S_{осн}=\frac12h^2\cot\alpha\cot\beta\sin\gamma.\]

Объём призмы:

\[V=S_{осн}h=\frac{h^3}{2}\cot\alpha\cot\beta\sin\gamma.\]

Ответ: \(V=\frac{h^3}{2}\cot\alpha\cot\beta\sin\gamma\).