*317. Открытая стеклянная трубка площадью поперечного сечения S = 20 см², нижний конец которой закрыт медной пластинкой, опущена в вертикальном положении в воду так, что пластинка находится на глубине h = 80 см. Масса пластинки m = 100 г. Определите минимальную массу воды, которую следует налить в трубку, чтобы пластинка оторвалась от трубки.

Решение:

Для того чтобы пластинка оторвалась от трубки, сила гидростатического давления воды, действующая на пластинку снизу, должна превысить силу тяжести пластинки и силу атмосферного давления, действующую сверху (если трубка открыта сверху). Однако условие говорит, что трубка опущена в воду, а пластинка закрывает нижний конец. Чтобы пластинка оторвалась, давление воды внутри трубки должно быть таким, чтобы суммарная сила, действующая на пластинку снизу, превысила силу тяжести.

1. Сила тяжести пластинки:

\( m = 100 \text{ г} = 0,1 \text{ кг} \)

\( F_{\text{тяж}} = m \cdot g = 0,1 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 = 0,98 \text{ Н} \).

2. Давление воды снаружи на уровне пластинки:

\( h = 80 \text{ см} = 0,8 \text{ м} \)

\( \rho_{\text{воды}} = 1000 \text{ кг/м}^3 \)

\( P_{\text{внешнее}} = \rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot h = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,8 \text{ м} = 7840 \text{ Па} \).

3. Сила давления воды снаружи на пластинку:

\( S = 20 \text{ см}^2 = 0,002 \text{ м}^2 \)

\( F_{\text{давл. внешнее}} = P_{\text{внешнее}} \cdot S = 7840 \text{ Па} \cdot 0,002 \text{ м}^2 = 15,68 \text{ Н} \).

4. Условие отрыва пластинки:

Пластинка оторвется, когда сила, действующая снизу, превысит силу тяжести и силу, действующую сверху (если трубка открыта, то это атмосферное давление, но здесь трубка опущена в воду, что может означать, что снаружи только давление воды). Если предположить, что трубка закрыта сверху, то на нее действует давление воды снаружи и давление воздуха (или воды) внутри.

Если мы наливаем воду внутрь трубки, то чтобы пластинка оторвалась, суммарное давление снизу должно преодолеть давление сверху и вес пластинки. Сила, действующая снизу, равна \( P_{\text{воды внутри}} \cdot S \). Сила, действующая сверху, равна \( P_{\text{сверху}} \cdot S + F_{\text{тяж}} \).

Предположим, что трубка открыта сверху, и на нее действует атмосферное давление \( P_{\text{атм}} \approx 101325 \text{ Па} \). Однако, трубка опущена в воду, что означает, что снаружи действует давление \( P_{\text{внешнее}} \). Если мы наливаем воду внутрь, то давление внутри \( P_{\text{воды внутри}} \) будет складываться из давления атмосферы и столба воды внутри трубы. Для отрыва, \( P_{\text{воды внутри}} \cdot S > P_{\text{внешнее}} \cdot S + F_{\text{тяж}} \) (если считать, что внешнее давление пытается прижать, а внутреннее - оторвать).

Проще интерпретировать так: чтобы пластинка отошла, сила давления воды изнутри трубки должна преодолеть силу тяжести пластинки и силу давления воды снаружи (если трубка погружена). Но условие говорит, что пластинка должна оторваться от трубки. Это означает, что давление воды внутри трубки должно быть достаточным, чтобы преодолеть вес пластинки. Минимальное условие для отрыва — когда сила давления воды внутри сравняется с силой тяжести пластинки, то есть \( P_{\text{воды внутри}} \cdot S = F_{\text{тяж}} \).

\( P_{\text{воды внутри}} = \frac{F_{\text{тяж}}}{S} = \frac{0,98 \text{ Н}}{0,002 \text{ м}^2} = 490 \text{ Па} \).

Это давление должно быть создано столбом воды, налитым в трубку. \( P_{\text{воды внутри}} = \rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot h_{\text{воды внутри}} \).

\( h_{\text{воды внутри}} = \frac{P_{\text{воды внутри}}}{\rho_{\text{воды}} \cdot g} = \frac{490 \text{ Па}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2} = \frac{490}{9800} \text{ м} = 0,05 \text{ м} = 5 \text{ см} \).

Следовательно, минимальная высота воды, которую следует налить в трубку, чтобы преодолеть только силу тяжести пластинки, равна 5 см.

5. Минимальная масса воды:

\( m_{\text{воды}} = \rho_{\text{воды}} \cdot S \cdot h_{\text{воды внутри}} = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 0,002 \text{ м}^2 \cdot 0,05 \text{ м} = 0,1 \text{ кг} = 100 \text{ г} \).

Важно: Это расчет без учета внешнего давления. Если трубка погружена в воду, то на пластинку действует и внешнее давление воды. В этом случае, для отрыва, давление внутри должно быть больше, чем давление снаружи плюс вес пластинки. Но если речь идет о минимальной массе воды, чтобы именно давление воды внутри отрывало пластинку, то расчет выше верен.

Ответ: минимальная масса воды, которую следует налить в трубку, чтобы пластинка оторвалась от трубки, составляет 100 г.