319. При нахождении градусных мер углов ответ давайте в градусах. а) На прямой CD отмечена точка P. Луч PK — биссектриса угла MPD. Известно, что ∠KPM = 50°. Найдите величину угла MPC. б) На прямой CD отмечена точка P. Луч PK — биссектриса угла MPD. Известно, что ∠CPK = 110°. Найдите величину угла MPK. в) На прямой AB отмечена точка S. Луч SM — биссектриса угла ASN. Известно, что ∠MSN = 39°. Найдите величину угла ASN. г) На прямой AB отмечена точка S. Луч SM — биссектриса угла ASN. Известно, что ∠MSB = 142°. Найдите величину угла ASN.

а) Так как PK — биссектриса, ∠MPK = ∠KPD = 50°. Поэтому ∠MPD = 50° + 50° = 100°. Углы MPD и MPC смежные, значит, ∠MPC = 180° − 100° = 80°.

б) Углы CPK и KPD смежные: ∠KPD = 180° − 110° = 70°. Так как PK — биссектриса угла MPD, ∠MPK = ∠KPD = 70°.

в) SM — биссектриса, поэтому ∠ASM = ∠MSN = 39°. Следовательно, ∠ASN = 39° + 39° = 78°.

г) Обозначим ∠ASN через x. Поскольку SM — биссектриса, ∠MSN = x ÷ 2. Углы MSB и MSN вместе с углом NSB образуют развёрнутый угол, поэтому ∠MSB = 180° − x ÷ 2. Тогда 142° = 180° − x ÷ 2, откуда x ÷ 2 = 38° и x = 76°.

Ответ: а) 80°; б) 70°; в) 78°; г) 76°.