32. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 8, а угол, лежащий против него, равен 30°. Найдите площадь треугольника. В ответе напишите площадь, делённую на √3.

Решение:

Пусть данный катет — \( a = 8 \), а противолежащий угол — \( \alpha = 30^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b} \).

Значит, прилежащий катет \( b = \frac{a}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{8}{\operatorname{tg} 30^{\circ}} \). Так как \( \operatorname{tg} 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} \), то \( b = \frac{8}{1/\sqrt{3}} = 8\sqrt{3} \).

Площадь треугольника: \( S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8\sqrt{3} = 32\sqrt{3} \).

По условию нужно найти площадь, делённую на \( \sqrt{3} \): \( \frac{S}{\sqrt{3}} = \frac{32\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 32 \).

Ответ: 32