338. Решите уравнение: а) x³ + 1/x³ = 22(x + 1/x);

ОДЗ: \(x \ne 0\).

Используем формулу: \(x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \frac{1}{x}\right)\).

Пусть \(t=x+\frac{1}{x}\). Тогда:

\(t^3-3t=22t\);

\(t^3-25t=0\);

\(t(t^2-25)=0\);

\(t=0\), \(t=5\) или \(t=-5\).

Значение \(t=0\) невозможно, так как \(x+\frac1x=0\) приводит к уравнению \(x^2+1=0\), не имеющему действительных корней.

При \(t=5\): \(x+\frac1x=5\), поэтому \(x^2-5x+1=0\), откуда \(x=\frac{5\pm\sqrt{21}}2\).

При \(t=-5\): \(x+\frac1x=-5\), поэтому \(x^2+5x+1=0\), откуда \(x=\frac{-5\pm\sqrt{21}}2\).

Ответ: \(x=\frac{5\pm\sqrt{21}}2;\ x=\frac{-5\pm\sqrt{21}}2\).