34.30. a) x^2/4 + x/2 - 12 < 0; б) x^2/5 + 2x/3 > 8/15.

Решение:

а) \( \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} - 12 < 0 \)

1. Приведём к общему знаменателю 4: \( \frac{x^2 + 2x - 48}{4} < 0 \).
2. Так как знаменатель положителен, неравенство равносильно \( x^2 + 2x - 48 < 0 \).
3. Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + 2x - 48 = 0 \). Дискриминант: \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 \). \( \sqrt{196} = 14 \).
4. Корни: \( x_1 = \frac{-2 - 14}{2} = -8 \) и \( x_2 = \frac{-2 + 14}{2} = 6 \).
5. Так как коэффициент при \( x^2 \) положителен, ветви параболы направлены вверх. Неравенство \( x^2 + 2x - 48 < 0 \) выполняется между корнями.

Ответ: \( x \in (-8; 6) \).

б) \( \frac{x^2}{5} + \frac{2x}{3} > \frac{8}{15} \)

1. Приведём к общему знаменателю 15: \( \frac{3x^2}{15} + \frac{10x}{15} > \frac{8}{15} \).
2. Умножим обе части на 15: \( 3x^2 + 10x > 8 \).
3. Перенесём всё в левую часть: \( 3x^2 + 10x - 8 > 0 \).
4. Найдем корни квадратного уравнения \( 3x^2 + 10x - 8 = 0 \). Дискриминант: \( D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196 \). \( \sqrt{196} = 14 \).
5. Корни: \( x_1 = \frac{-10 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-24}{6} = -4 \) и \( x_2 = \frac{-10 + 14}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).
6. Так как коэффициент при \( x^2 \) положителен, ветви параболы направлены вверх. Неравенство \( 3x^2 + 10x - 8 > 0 \) выполняется вне корней.

Ответ: \( x \in (-\infty; -4) \cup (\frac{2}{3}; +\infty) \).