34) 4^{x}+2^{x+1} = 80

Решение:

Для решения показательного уравнения \( 4^x + 2^{x+1} = 80 \) преобразуем его к виду, удобному для замены переменной.

1. Заметим, что \( 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} = (2^x)^2 \) и \( 2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x \).
2. Подставим эти выражения в уравнение: \( (2^x)^2 + 2 \cdot 2^x = 80 \)
3. Сделаем замену переменной. Пусть \( y = 2^x \). Так как \( 2^x \) всегда положительно, то \( y > 0 \).
4. Уравнение примет вид: \( y^2 + 2y = 80 \)
5. Перенесем все члены в одну сторону: \( y^2 + 2y - 80 = 0 \)
6. Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324 \).
7. \( \sqrt{D} = \sqrt{324} = 18 \).
8. Найдём корни квадратного уравнения:
• \( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 18}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
• \( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 18}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \)
9. Учитывая, что \( y > 0 \), отбрасываем посторонний корень \( y_2 = -10 \).
10. Возвращаемся к замене: \( 2^x = 8 \)
11. Так как \( 8 = 2^3 \), получаем \( 2^x = 2^3 \).
12. Следовательно, \( x = 3 \).

Ответ: \( x = 3 \).