34. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 20 и 52. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90° \). Пусть катет AC = 20, а гипотенуза AB = 52.

1. Найдем второй катет BC по теореме Пифагора: \( BC^2 = AB^2 - AC^2 = 52^2 - 20^2 = 2704 - 400 = 2304 \). \( BC = \sqrt{2304} = 48 \).

2. Площадь треугольника ABC можно вычислить двумя способами:

• Через катеты: \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 48 = 10 \cdot 48 = 480 \).
• Через гипотенузу и высоту к ней: \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h \), где h — высота, проведённая к гипотенузе.

3. Приравняем площади:

\( \frac{1}{2} \cdot 52 \cdot h = 480 \)

\( 26h = 480 \)

\( h = \frac{480}{26} = \frac{240}{13} \).

Ответ: \( \frac{240}{13} \).