60. Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 60° и 135°, а CD=24.

Решение:

1. Проведём из вершины C высоту CE к основанию AD. Получим прямоугольный треугольник CDE.

2. В трапеции ABCD углы ABC и BCD равны 60° и 135° соответственно. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°. Следовательно, углы BAD и ADC равны 180° - 60° = 120° и 180° - 135° = 45°.

3. В трапеции ABCD проведём из вершины B высоту BF к основанию AD. Тогда AB || CD, а BF || CE. Четырёхугольник BCFD является прямоугольником. Следовательно, BF = CE и FD = BC.

4. В прямоугольном треугольнике ABF: \( \angle BAF = 180° - 120° = 60° \). Угол ABF = 180° - 90° - 60° = 30°.

5. В прямоугольном треугольнике CDE: \( \angle CDE = 45° \). Угол DCE = 180° - 90° - 45° = 45°.

6. Введём обозначения: \( AB = x \), \( BC = y \). Тогда \( CD = 24 \).

7. В прямоугольном треугольнике ABF: \( BF = AB \sin(60°) = x \frac{\sqrt{3}}{2} \). \( AF = AB \cos(60°) = x \frac{1}{2} \).

8. В прямоугольном треугольнике CDE: \( CE = CD \sin(45°) = 24 \frac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2} \). \( DE = CD \cos(45°) = 24 \frac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2} \).

9. Так как BF = CE, то \( x \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{2} \), откуда \( x = \frac{24\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{6}}{3} = 8\sqrt{6} \).

10. Таким образом, боковая сторона AB равна \( 8\sqrt{6} \).

Ответ: \( 8\sqrt{6} \).