34. Найдите значение выражения: a) \(\sqrt{(5 - \sqrt{23})^2} + \sqrt{(4 - \sqrt{23})^2}\)

Решение:

Вспомним, что \(\sqrt{x^2} = |x|\), то есть модуль числа.

а)

\(\sqrt{(5 - \sqrt{23})^2} = |5 - \sqrt{23}|\)

Нам нужно определить, является ли выражение \(5 - \sqrt{23}\) положительным или отрицательным. Для этого сравним \(5\) и \(\sqrt{23}\). Возведем оба числа в квадрат:

\(5^2 = 25\)

\((\sqrt{23})^2 = 23\)

Так как \(25 > 23\), то \(5 > \sqrt{23}\). Следовательно, \(5 - \sqrt{23}\) — положительное число.

Значит, \(|5 - \sqrt{23}| = 5 - \sqrt{23}\).

Теперь рассмотрим вторую часть выражения:

\(\sqrt{(4 - \sqrt{23})^2} = |4 - \sqrt{23}|\)

Сравним \(4\) и \(\sqrt{23}\). Возведем оба числа в квадрат:

\(4^2 = 16\)

\((\sqrt{23})^2 = 23\)

Так как \(16 < 23\), то \(4 < \sqrt{23}\). Следовательно, \(4 - \sqrt{23}\) — отрицательное число.

Значит, \(|4 - \sqrt{23}| = -(4 - \sqrt{23}) = \sqrt{23} - 4\).

Теперь сложим полученные результаты:

\((5 - \sqrt{23}) + (\sqrt{23} - 4) = 5 - \sqrt{23} + \sqrt{23} - 4 = 5 - 4 = 1\)

Ответ: 1