34. Прямоугольный треугольник ABC: ∠C = 90°, ∠B = 30°, радиус вписанной окружности равен 4. Найти AC.

Так как \(\angle B=30^\circ\), сторона \(AC\), лежащая напротив угла \(30^\circ\), равна половине гипотенузы.

Пусть \(AC=x\). Тогда \(BC=x\sqrt3\), \(AB=2x\).

Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника:

\[r=\frac{AC+BC-AB}{2}.\]

Подставим данные:

\[4=\frac{x+x\sqrt3-2x}{2}=\frac{x(\sqrt3-1)}2.\]

\[x=\frac8{\sqrt3-1}=4(\sqrt3+1).\]

Ответ: \(AC=4(\sqrt3+1)\).