№ 34. Точка N — середина стороны AB параллелограмма ABCD, а NC = ND. Докажите, что параллелограмм ABCD является прямоугольником.

Пусть N — начало координат, ось x направлена вдоль AB. Тогда A=(-a,0), B=(a,0), где a>0. Обозначим D=(u,v). Так как ABCD — параллелограмм, C=B+D=(a+u,v).

Из условия NC=ND следует равенство квадратов расстояний:

\((a+u)^2+v^2=(-a+u)^2+v^2\).

После сокращения получаем \(4au=0\). Поскольку \(a>0\), имеем \(u=0\). Значит, AD=(0,v) перпендикулярен AB. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.