340. Какие остатки дают натуральные степени числа a при делении на b: а) a = 2, b = 8; б) a = 3, b = 6; в) a = 4, b = 7?

Рассмотрим последовательности степеней и их остатки.

1. а) Для степеней числа 2: 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8. При делении на 8 остатки соответственно 2, 4, 0. Все следующие степени также делятся на 8. Возможные остатки: 0, 2, 4.
2. б) Число 3 при делении на 6 даёт остаток 3. Поэтому и любая его натуральная степень даёт остаток 3: если число имеет вид 6k + 3, то произведение таких чисел также сравнимо с 3 по модулю 6. Возможный остаток: 3.
3. в) Степени числа 4 при делении на 7 повторяют остатки: 4¹ → 4, 4² → 2, 4³ → 1, 4⁴ → 4. Далее цикл повторяется. Возможные остатки: 1, 2, 4.

Ответ: а) 0, 2, 4; б) 3; в) 1, 2, 4.