342. Решить систему уравнений: 1) \(\begin{cases}\lg x-\lg y=2,\\x-10y=900;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}\log_3 x+\log_3 y=2,\\x^2y-2y+9=0.\end{cases}\)

1) По области определения логарифмов: \(x>0\), \(y>0\). Первое уравнение даёт \(\lg\frac{x}{y}=2\), значит, \(\frac{x}{y}=100\) и \(x=100y\).

Подставим во второе уравнение: \(100y-10y=900\), откуда \(y=10\), а \(x=1000\).

Ответ: \((x;y)=(1000;10)\).

2) Область определения: \(x>0\), \(y>0\). Из первого уравнения \(\log_3(xy)=2\), поэтому \(xy=9\), то есть \(y=\frac{9}{x}\).

Подставим во второе уравнение: \(y(x^2-2)+9=0\). Тогда \(\frac{9}{x}(x^2-2)+9=0\). Так как \(x>0\), умножим на \(\frac{x}{9}\): \(x^2+x-2=0\), то есть \((x-1)(x+2)=0\).

Из корней подходит только \(x=1\), поскольку \(x>0\). Тогда \(y=9\). Проверка: \(\log_3 1+\log_3 9=0+2=2\), а \(1^2\cdot9-2\cdot9+9=0\).

Ответ: \((x;y)=(1;9)\).