342. Сравните значения выражений: а) 2√3 и √8; б) √45 и 3√5; в) 2√6 и 3√3; г) 2√(1/8) и ½√2; д) 5√(3/5) и 3√(5/3); е) ⅓√20 и ½√8.

Все сравниваемые выражения неотрицательны, поэтому можно сравнить их квадраты.

1. а) \((2\sqrt3)^2=12\), а \((\sqrt8)^2=8\). Значит, \(2\sqrt3>\sqrt8\).
2. б) \(\sqrt{45}=3\sqrt5\), поскольку \(45=9\cdot5\). Значит, выражения равны.
3. в) \((2\sqrt6)^2=24\), \((3\sqrt3)^2=27\). Значит, \(2\sqrt6<3\sqrt3\).
4. г) \(2\sqrt{\frac18}=\frac{\sqrt2}{2}\), поэтому выражения равны.
5. д) Квадраты обоих выражений равны 15: \(25\cdot\frac35=15\), \(9\cdot\frac53=15\). Так как оба выражения положительны, они равны.
6. е) Квадраты выражений равны \(\frac{20}{9}\) и 2. Поскольку \(\frac{20}{9}>2\), получаем \(\frac13\sqrt{20}>\frac12\sqrt8\).

Ответ: а) >; б) =; в) <; г) =; д) =; е) >.