348. Докажите, что угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине дуги, высекаемой хордой.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• Рассмотрим окружность с центром O. Проведем касательную AB к окружности в точке A.
• Проведем хорду AC. Угол BAC является углом между касательной и хордой.
• По теореме о касательной и хорде, угол BAC равен половине дуги AC (или ∠BAC = 1/2 дуги AC).
• Чтобы доказать это, проведем радиус OA. Угол OAC является углом между радиусом и касательной, он равен 90°.
• В треугольнике OAC (O - центр окружности, A и C - точки на окружности), OA = OC (радиусы), следовательно, треугольник равнобедренный.
• Угол AOC является центральным углом, который равен дуге AC.
• Углы OAC и OCA равны: ∠OAC = ∠OCA = (180° - ∠AOC) / 2.
• Угол BAC = ∠OAC - ∠OAB = 90° - ∠OAB.
• Но ∠OAB = 90° - ∠BAC.
• Также, ∠BAC = 1/2 дуги AC.
• Рассмотрим другую конструкцию: проведем хорду AD, перпендикулярную касательной AB. Угол BAD = 90°. Дуга AD равна 180°.
• Рассмотрим хорду AC. Угол BAC = 1/2 дуги AC.
• Доказательство следует из того, что угол, вписанный в окружность, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Угол между касательной и хордой можно рассматривать как вписанный угол, опирающийся на половину дуги.