35 ABCD — параллелограмм, AB = 6 см, BC = 8 см, ∠1 = ∠2. Найдите DK.

Решение:

В параллелограмме ABCD \( AB = CD = 6 \text{ см} \) и \( BC = AD = 8 \text{ см} \).

Пусть \( \angle 1 = \angle 2 = \alpha \).

По условию \( \angle 1 = \angle 2 \). AK — биссектриса \( \angle A \), поэтому \( \angle KAB = \angle 1 = \alpha \).

Так как ABCD — параллелограмм, то \( AB ―― DC \).

Углы \( \angle KAB \) и \( \angle AKD \) являются накрест лежащими при параллельных прямых AB и DC и секущей AK. Следовательно, \( \angle AKD = \angle KAB = \alpha \).

Теперь рассмотрим углы в треугольнике ADK.

\( \angle D = 180° - \angle A \).

\( \angle A = \angle 1 + \angle 3 = \alpha + \angle 3 \).

\( \angle 1 = \angle 2 \) и \( \angle 1 \) является частью \( \angle A \).

\( \angle 2 \) также является частью \( \angle A \).

Если \( \angle 1 = \angle 2 \) и AK — биссектриса, то \( \angle 1 = \angle 3 \) (внутренние накрест лежащие при AB ―― DC и секущей AK, это неверно, \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) не накрест лежащие).

У нас есть: \( \angle KAB \) - часть \( \angle A \). AK — биссектриса \( \angle A \), значит \( \angle KAB = \angle KAD \). Однако, \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) отмечены как части \( \angle A \), и \( \angle 1 = \angle 2 \). Это означает, что AK делит \( \angle A \) пополам, и \( \angle 1 = \angle KAB \) и \( \angle 3 = \angle KAD \), и \( \angle 1 = \angle 3 \). Следовательно, \( \angle KAB = \angle KAD \).

Так как ABCD — параллелограмм, \( AB ―― DC \). Углы \( \angle KAB \) и \( \angle AKD \) — накрест лежащие, поэтому \( \angle AKD = \angle KAB \).

Из того, что \( \angle KAD = \angle KAB \) (биссектриса) и \( \angle AKD = \angle KAB \) (накрест лежащие), следует, что \( \angle KAD = \angle AKD \).

Треугольник ADK равнобедренный с основанием KD. Значит, \( AD = DK \).

По условию \( AD = BC = 8 \text{ см} \).

Следовательно, \( DK = 8 \text{ см} \).

Ответ: 8 см.