35. Прямые AB и CD пересекаются. Через прямую AB проведена плоскость. Назовите линию пересечения данной плоскости с плоскостью BCD.

Решение:

Дано, что прямые AB и CD пересекаются в точке M. Через прямую AB проведена плоскость. Нам нужно найти линию пересечения этой плоскости с плоскостью BCD.

Плоскость BCD содержит прямые BC, CD и BD.

Плоскость, о которой идет речь, содержит прямую AB.

Если плоскость содержит прямую AB, и прямая AB лежит в плоскости BCD (что не всегда так, так как A, B, C, D могут быть не в одной плоскости), то линия пересечения может быть сама прямая AB.

Однако, если A, B, C, D образуют, например, пирамиду, то точка M является пересечением диагоналей основания.

Рассмотрим случай, когда A, B, C, D лежат в одной плоскости. Тогда прямая AB и прямая CD лежат в этой плоскости. Плоскость, проведенная через AB, совпадает с плоскостью ABCD. Тогда линия пересечения плоскости ABCD с плоскостью BCD будет сама плоскость BCD, если ABCD и BCD - одно и то же. Но нам нужно назвать линию (прямую).

Если A, B, C, D - вершины четырёхугольника, и прямые AB и CD пересекаются, то эти прямые являются частями плоскости этого четырёхугольника.

Плоскость BCD — это плоскость, содержащая точки B, C, D. Прямая AB также дана. Точка M - пересечение AB и CD.

Если плоскость проходит через AB, и мы ищем ее пересечение с плоскостью BCD, то надо найти прямую, которая лежит в обеих плоскостях.

В плоскости BCD есть прямые BC, CD, BD.

Если A, B, C, D лежат в одной плоскости, то прямая CD пересекает плоскость, содержащую AB. Линия пересечения плоскости, содержащей AB, и плоскости BCD.

Если точка M лежит в плоскости BCD, то линия пересечения будет прямая BM (или AM, так как M лежит на AB).

Если A, B, C, D - вершины трапеции, то AB и CD параллельны или пересекаются.

Условие: Прямые AB и CD пересекаются. Через прямую AB проведена плоскость. Назовите линию пересечения данной плоскости с плоскостью BCD.

Точка B принадлежит и прямой AB, и плоскости BCD. Точка M (пересечение AB и CD) принадлежит прямой AB. Если M принадлежит плоскости BCD, то линия пересечения — прямая BM. Но M не обязательно лежит в плоскости BCD.

Рассмотрим случай, когда ABCD - плоский четырехугольник. Тогда прямые AB и CD лежат в одной плоскости. Плоскость, проведенная через AB, является той же плоскостью, что и плоскость ABCD. Тогда линия пересечения плоскости ABCD и плоскости BCD — это прямая BD (если B, C, D не лежат на одной прямой).

Если ABCD — это плоский четырехугольник, то прямая BD является диагональю.

Подумаем, какие точки гарантированно лежат в обеих плоскостях.

Плоскость 1: содержит прямую AB.

Плоскость 2: BCD.

Общая точка B. Общая точка C (если A,B,C,D в одной плоскости, и CD пересекает AB).

Предположим, что A, B, C, D лежат в одной плоскости. Тогда прямая AB и прямая CD лежат в этой плоскости. Плоскость, проведенная через AB, совпадает с плоскостью ABCD. Тогда линия пересечения плоскости ABCD и плоскости BCD — это прямая BD.

В вариантах ответа есть BD.

Ответ: d) BD.