36.13. Докажите тождество: a) \( \frac{27 - m^3}{m^2 + 3m + 9} = 9 - m^2 \); б) \( \frac{2y - x}{x^2 + 2xy + 4y^2} = \frac{x^3 - 8y^3}{x^2 - 4x + 4y^2} \); в) \( \frac{5 - p}{p^2 - 25} = \frac{p^3 + 125}{p^2 - 5p + 25} \); г) \( \frac{9a^2 + 6ab + b^2}{3a + b} = \frac{27a^3 + b^3}{9a^2 - 3ab + b^2} \).

Решение:

Для доказательства тождеств будем преобразовывать одну из частей равенства, чтобы получить другую.

a) \( \frac{27 - m^3}{m^2 + 3m + 9} = 9 - m^2 \)

1. Преобразуем левую часть: Используем формулу разности кубов \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \). \( \frac{27 - m^3}{m^2 + 3m + 9} = \frac{3^3 - m^3}{m^2 + 3m + 9} = \frac{(3 - m)(9 + 3m + m^2)}{m^2 + 3m + 9} = 3 - m \).
2. Сравнение: \( 3 - m \neq 9 - m^2 \).

Вывод: Равенство не является тождеством.

б) \( \frac{2y - x}{x^2 + 2xy + 4y^2} = \frac{x^3 - 8y^3}{x^2 - 4x + 4y^2} \)

1. Преобразуем правую часть: Используем формулу разности кубов \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \). \( \frac{x^3 - 8y^3}{x^2 - 4x + 4y^2} = \frac{x^3 - (2y)^3}{x^2 - 4x + 4y^2} = \frac{(x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)}{x^2 - 4x + 4y^2} \).
2. Сравнение: Левая часть \( \frac{2y - x}{x^2 + 2xy + 4y^2} = -\frac{x - 2y}{x^2 + 2xy + 4y^2} \). Правая часть \( \frac{(x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)}{x^2 - 4x + 4y^2} \). Равенство не выполняется.

Вывод: Равенство не является тождеством.

в) \( \frac{5 - p}{p^2 - 25} = \frac{p^3 + 125}{p^2 - 5p + 25} \)

1. Преобразуем левую часть: Используем формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \). \( \frac{5 - p}{p^2 - 25} = \frac{5 - p}{(p - 5)(p + 5)} = \frac{-(p - 5)}{(p - 5)(p + 5)} = \frac{-1}{p + 5} \).
2. Преобразуем правую часть: Используем формулу суммы кубов \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \). \( \frac{p^3 + 125}{p^2 - 5p + 25} = \frac{p^3 + 5^3}{p^2 - 5p + 25} = \frac{(p + 5)(p^2 - 5p + 25)}{p^2 - 5p + 25} = p + 5 \).
3. Сравнение: \( \frac{-1}{p + 5} \neq p + 5 \).

Вывод: Равенство не является тождеством.

г) \( \frac{9a^2 + 6ab + b^2}{3a + b} = \frac{27a^3 + b^3}{9a^2 - 3ab + b^2} \)

1. Преобразуем левую часть: Заметим, что \( (3a + b)^2 = 9a^2 + 6ab + b^2 \). Значит, \( \frac{9a^2 + 6ab + b^2}{3a + b} = \frac{(3a + b)^2}{3a + b} = 3a + b \).
2. Преобразуем правую часть: Используем формулу суммы кубов \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \). \( \frac{27a^3 + b^3}{9a^2 - 3ab + b^2} = \frac{(3a)^3 + b^3}{9a^2 - 3ab + b^2} = \frac{(3a + b)(9a^2 - 3ab + b^2)}{9a^2 - 3ab + b^2} = 3a + b \).
3. Сравнение: Левая часть равна правой.

Вывод: Равенство является тождеством.

Ответ: а), б), в) — не тождества; г) — тождество.