36.22. Найдите все натуральные значения n, при которых значение выражения является целым числом:

Решение:

Чтобы значение выражения было целым числом, числитель должен делиться на знаменатель без остатка.

1. \( \frac{n+6}{n} = \frac{n}{n} + \frac{6}{n} = 1 + \frac{6}{n} \). \( n \) — натуральное число, значит \( n \) должно быть натуральным делителем числа 6. Делители числа 6: 1, 2, 3, 6.
2. \( \frac{3n^2-4n-14}{n} = \frac{3n^2}{n} - \frac{4n}{n} - \frac{14}{n} = 3n - 4 - \frac{14}{n} \). \( n \) — натуральное число, значит \( n \) должно быть натуральным делителем числа 14. Делители числа 14: 1, 2, 7, 14.
3. \( \frac{4n+7}{2n-3} \). Преобразуем выражение: \( \frac{4n+7}{2n-3} = \frac{2(2n-3) + 6 + 7}{2n-3} = \frac{2(2n-3) + 13}{2n-3} = 2 + \frac{13}{2n-3} \). \( n \) — натуральное число. \( 2n-3 \) должно быть делителем числа 13. Делители числа 13: \( ±1, ±13 \). \( 2n-3=1 → 2n=4 → n=2 \). \( 2n-3=-1 → 2n=2 → n=1 \). \( 2n-3=13 → 2n=16 → n=8 \). \( 2n-3=-13 → 2n=-10 → n=-5 \) (не натуральное).

Ответ: 1) 1, 2, 3, 6; 2) 1, 2, 7, 14; 3) 1, 2, 8.