36.23. Найдите все натуральные значения n, при которых значение выражения является целым числом:

Решение:

Чтобы значение выражения было целым числом, числитель должен делиться на знаменатель без остатка.

1. \( \frac{8n-9}{n} = \frac{8n}{n} - \frac{9}{n} = 8 - \frac{9}{n} \). \( n \) — натуральное число, значит \( n \) должно быть натуральным делителем числа 9. Делители числа 9: 1, 3, 9.
2. \( \frac{n^2+2n-8}{n} = \frac{n^2}{n} + \frac{2n}{n} - \frac{8}{n} = n + 2 - \frac{8}{n} \). \( n \) — натуральное число, значит \( n \) должно быть натуральным делителем числа 8. Делители числа 8: 1, 2, 4, 8.
3. \( \frac{9n-4}{3n-5} \). Преобразуем выражение: \( \frac{9n-4}{3n-5} = \frac{3(3n-5) + 15 - 4}{3n-5} = \frac{3(3n-5) + 11}{3n-5} = 3 + \frac{11}{3n-5} \). \( n \) — натуральное число. \( 3n-5 \) должно быть делителем числа 11. Делители числа 11: \( ±1, ±11 \). \( 3n-5=1 → 3n=6 → n=2 \). \( 3n-5=-1 → 3n=4 \) (не целое). \( 3n-5=11 → 3n=16 \) (не целое). \( 3n-5=-11 → 3n=-6 → n=-2 \) (не натуральное).

Ответ: 1) 1, 3, 9; 2) 1, 2, 4, 8; 3) 2.