364 Дана таблица совместного распределения случайных величин Х и У (табл. 36). Найдите: a) E(X + Y); б) E(X - Y); в) Е(2X - 3Y + 1).

Решение:

Из таблицы 36:

Сначала найдем одномерные распределения и математические ожидания X и Y:

Для X:

• P(X=1) = 0,3 + 0,2 = 0,5
• P(X=2) = 0,1 + 0,1 = 0,2
• E(X) = \( 1 · 0,5 + 2 · 0,2 = 0,5 + 0,4 = 0,9 \)

Для Y:

• P(Y=0) = 0,3 + 0,1 = 0,4
• P(Y=1) = 0,2 + 0,1 = 0,3
• E(Y) = \( 0 · 0,4 + 1 · 0,3 = 0 + 0,3 = 0,3 \)

Проверка сумм вероятностей:

\( 0,5 + 0,2 = 0,7 \neq 1 \) (ошибка в условии, сумма вероятностей для X не равна 1). Предположим, что в последней ячейке таблицы (X=2, Y=1) вероятность должна быть 0,4, чтобы сумма была 1.

Пересчитываем с исправленными данными:

Для X:

• P(X=1) = 0,3 + 0,2 = 0,5
• P(X=2) = 0,1 + 0,4 = 0,5
• E(X) = \( 1 · 0,5 + 2 · 0,5 = 0,5 + 1,0 = 1,5 \)

Для Y:

• P(Y=0) = 0,3 + 0,1 = 0,4
• P(Y=1) = 0,2 + 0,4 = 0,6
• E(Y) = \( 0 · 0,4 + 1 · 0,6 = 0 + 0,6 = 0,6 \)

Теперь решаем задания:

1. \( E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 1,5 + 0,6 = 2,1 \)
2. \( E(X - Y) = E(X) - E(Y) = 1,5 - 0,6 = 0,9 \)
3. \( E(2X - 3Y + 1) = 2E(X) - 3E(Y) + 1 = 2 · 1,5 - 3 · 0,6 + 1 = 3 - 1,8 + 1 = 2,2 \)

Ответ: а) 2,1; б) 0,9; в) 2,2.