37. Решите уравнение \( \log_2^2 x - \log_2 x^3 = 4\log_2 64 \)

Решение:

Запишем уравнение, используя свойства логарифмов:

\( \log_2^2 x - 3\log_2 x = 4\log_2 64 \)

Так как \( \log_2 64 = \log_2 2^6 = 6 \), то уравнение примет вид:

\( \log_2^2 x - 3\log_2 x = 4 × 6 \)

\( \log_2^2 x - 3\log_2 x = 24 \)

Сделаем замену переменной: пусть \( y = \log_2 x \).

Получим квадратное уравнение: \( y^2 - 3y - 24 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 9 + 96 = 105 \]

Найдем корни \( y \):

\[ y_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{105}}{2} \]

Теперь вернемся к замене \( y = \log_2 x \).

\[ \log_2 x = \frac{3 + \sqrt{105}}{2} \quad \text{или} \quad \log_2 x = \frac{3 - \sqrt{105}}{2} \]

Отсюда:

\[ x = 2^{\frac{3 + \sqrt{105}}{2}} \quad \text{или} \quad x = 2^{\frac{3 - \sqrt{105}}{2}} \]

Ответ: \( 2^{\frac{3 + \sqrt{105}}{2}} \) и \( 2^{\frac{3 - \sqrt{105}}{2}} \)